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Analyse Mathématique

CLASSE F

Fonctions elliptiques avec leurs applications.

1. Fonctions $\Theta$ et fonctions intermédiaires en général. (18 articles)
a. Définitions et propriétés générales de la fonction $\Theta$. (9 articles)
b. Les quatre fonctions de Jacobi, généralités ; zéros et périodes. Relation entre les quatre fonctions $\Theta$ ; développements en séries ; (9 articles)
α  Développements en séries des produits et quotients des quatre fonctions $\Theta$.
c. Développement des fonctions $\Theta$ en produits ;
α  Détermination de $\varphi(q)$.
d. Fonctions $\Theta$ en général ; relations entre ces fonctions ;
α  Fonctions $\Theta$ obtenues en partageant les périodes en $n$ parties égales.
e. Formes en nombre infini des fonctions $\Theta$.
f. Fonctions intermédiaires en général ;
α  Fonctions AI.
g. Fonction $\sigma$, propriétés générales ; développement en produit ; en série entière.

2. Fonctions doublement périodiques. (39 articles)
a. Propriétés générales des fonctions doublement périodiques de première espèce ; relations entre les résidus. (10 articles)
b. Représentation de ces fonctions ; par le quotient de deux produits de fonctions $\Theta$ ou $\sigma$ du premier ordre ; par le quotient de deux fonctions $\Theta$ d'ordre supérieur.
c. Élimination de l'inconnue entre deux équations doublement périodiques ;
α  Interpolation.
d. Décomposition des fonctions doublement périodiques en éléments simples. ( Pour les intégrales pseudo-elliptiques, voir C2dα et cf. G1bβ .)
e. Fonctions doublement périodiques de deuxième espèce ; fonction $\zeta(u)$. (10 articles)
f. Fonctions doublement périodiques de troisième espèce ; généralités ; (10 articles)
α  Décomposition en éléments simples.
g. Fonctions $\sn{u}$, $\cn u$, $\dn u$ ; généralités ; expressions à l'aide des fonctions $\Theta$ ; zéros et périodes. (9 articles)
h. Fonction $\wp(u)$ ; sa définition ; expression à l'aide de $\sigma$ ; relations entre $\wp(u)$ et les fonctions $\sn u$, $\cn u$, $\dn u$.

3. Développements des fonctions elliptiques.
a. Développement par les séries d'Eisenstein ;
α  Par les séries à double indice de M. Weierstrass (application du théorème de M. Mittag-Leffler) ;
β  Développement de $\wp(u)$ en série à double indice.
b. Développement de $\sn$, $\cn$, $\dn$ en séries ordonnées suivant les puissances du module et de la variable ;
α  Développement de $\wp( u)$ suivant les puissances de $u$, $g_2$, $g_3$.
c. Développements en séries trigonométriques ;
α  de $\sn$, $\cn$, $\dn$ ;
β  des fonctions de première espèce en général ;
γ  de $\zeta(u)$ ;
δ  de $\wp(u)$.
d. Développements en produits ;
α  Développements divers.

4. Addition et multiplication. (30 articles)
a. Formules d'addition pour $\sn$, $\cn$, $\dn$ ; (19 articles)
α  Pour $\zeta$, $\Theta$,\dots ;
β  pour $\wp(u)$, $\sigma(u)$,\dots
b. Théorie générale de la multiplication et de la division. (11 articles)
c. Formules de multiplication pour $\sn$, $\cn$, $\dn$ ;
α  Pour $\wp(u)$.
d. Résolution des équations algébriques auxquelles conduit le problème de la division de l'argument.

5. Transformation. (47 articles)
a. Théorie générale de la transformation ; (28 articles)
α  au point de vue des relations entre les périodes ;
β  au point de vue de la substitution d'un polynôme dans l'intégrale.(10 articles)
b. Formation des équations qui lient les deux valeurs de $\sn$ ; (10 articles)
α  des équations analogues en $\wp(u)$ ;
β  des équations modulaires en $k$ ;(10 articles)
γ  Des équations en $J$ ;
δ  De l'équation aux multiplicateurs.
c. Discussion et résolution des équations en $\sn$ ;
α  en $\wp(u)$.
d. Discussion des équations modulaires en $k$ ;
α  en J ;
β  de l'équation au multiplicateur (ref. A4d ).
e. Transformations particulières ;
α  de Landen.

6. Fonctions elliptiques particulières. (9 articles)
a. Fonctions provenant de l'intégrale $\int{dx\over\sqrt{1+x^4}}$.
b. Division de la lemniscate. (9 articles)
c. Multiplication complexe.
d. Autres fonctions particulières.

7. Fonctions modulaires.
a. Étude de la fonction J ; généralités ;
α  Propriétés au point de vue de la théorie générale des fonctions ;
β  Étude de la fonction $k^2$ ou $\varphi^8(\omega)$ au même point de vue.
b. Développements des fonctions modulaires en fonctions de $q$ ;
α  en séries entières ;
β  en produits ;
γ  En séries à termes rationnels.
c. Définition des périodes en fonction du module par des équations différentielles ;
α  Représentation par des séries hypergéométriques.
d. Fonctions modulaires d'ordre supérieur ; généralités ;
α  Fonctions modulaires provenant d'une Congruenzgruppe.

8. Applications des fonctions elliptiques. (54 articles)
a. Applications algébriques ; inversion des intégrales algébriques ;
α  Moyenne arithmético-géométrique de Gauss ; Généralisations de cette moyenne ;
β  Autres applications.
b. Résolution de l'équation du cinquième degré ; (11 articles)
α  de certaines équations de degré supérieur.
c. Applications arithmétiques : (8 articles)
α  à la partition des nombres (ref. I10 ) ;
β  à l'évaluation des sommes de Gauss.
d. à la décomposition des nombres en sommes ;
α  de trois carrés ;
β  de quatre carrés ;
γ  de plus de quatre carrés (ref. I17a , b , c ).
e. à la détermination du nombre des classes de formes quadratiques de déterminant donné (ref. I14 ) ;
α  par la multiplication complexe ;
β  par la transformation.
f. Applications géométriques ; (26 articles)
α  à la Trigonométrie sphérique (ref. K20f ) ;
β  aux théorèmes de Poncelet, et aux théorèmes analogues (ref. K11c , L117d et L119c ) ;(9 articles)
γ  Interpolations géométriques du théorème d'addition.
g. Aux courbes de genre un (voir M14b et M34b ).
h. Applications mécaniques et physiques ; (9 articles)
α  Pendule conique ;
β  Courbe élastique ;
γ  Mouvement d'un corps autour d'un point fixe ; polhodie, herpolhodie :(9 articles)
δ  dans un liquide ;
ε  Mouvement d'un point attiré par deux centres.