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Analyse Mathématique

CLASSE I

Arithmétique et théorie des nombres ; analyse indéterminée ; théorie arithmétique des formes et des fractions continues ; division du cercle ; nombres complexes, idéaux, transcendants.

1. Numération ; opérations arithmétiques ; extraction des racines ; nombres incommensurables ; approximations. (636 articles)

2. Propriétés générales et élémentaires des nombres. (267 articles)
a. Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple. (9 articles)
b. Généralités élémentaires sur les nombres premiers et premiers entre eux ; caractères de divisibilité ; (72 articles)
α  Décomposition d'un nombre en facteurs premiers ; procédés divers (cf. I13c ).
β  Nombres de Mersenne.(10 articles)
c. Étude et propriétés de la fonction $\varphi(m)$ (nombre des entiers premiers à $m$ et plus petits que $m$) ; diviseurs des produits $1.2\ldots m$ et $n(n+1)\ldots(n+m)$. (28 articles)

3. Congruences. (95 articles)
a. Généralités ; limite du nombre des racines dans le cas d'un module premier ; (39 articles)
α  Racines communes à deux congruences.
b. Théorèmes de Fermat et de Wilson ; généralisations diverses de ces théorèmes. (31 articles)
c. Congruences irréductibles ; imaginaires de Galois. (8 articles)

4. Résidus quadratiques. (46 articles)
a. Symbole de Legendre ; propriétés générales ; (36 articles)
α  Caractère quadratique de 2 ;
β  Loi de réciprocité.(18 articles)
b. Étude générale de la congruence $x^2\equiv q (\mod N)$.
c. Symbole de Jacobi ; (10 articles)
α  Loi de réciprocité.(10 articles)

5. Nombres complexes de la forme $a+b\sqrt{-1}$.
a. Propriétés générales ; décomposition en facteurs ; nombres premiers absolus.
b. Congruences dans le cas d'un module complexe ;
α  Extensions aux nombres complexes des théorèmes de Fermat, Wilson et analogues.
c. Résidus quadratiques dans le cas des nombres complexes ;
α  Symbole de Dirichlet.

6. Quaternions à coefficients entier.
a. Généralités.
b. Décomposition d'un quaternion en quaternion premiers.

7. Résidus de puissances et congruences binômes. (80 articles)
a. Généralités sur la congruence binôme ; systèmes de racines primitives. (58 articles)
b. Théorie de l'indice.
c. Théorie des résidus cubiques. (11 articles)
d. Théorie des résidus biquadratiques. (11 articles)

8. Division du cercle (18 articles)
a. Division en $2^\mu k+1$ parties égales ; (10 articles)
α  $k=1$.
b. Déterminants d'une forme spéciale auxquels conduit la division du cercle.
c. Application à la décomposition des nombres en sommes de carrés.

9. Théorie des nombres premiers. (108 articles)
a. Théorème de Dirichlet sur la progression arithmétique.
b. Distribution des nombres premiers ; nombres premiers compris entre deux limites données (ref. E2 ). (40 articles)
c. Autres théories générales relatives aux nombres premiers, et non comprises dans les groupes précédents. (68 articles)

10. Partition des nombres (ref. F8cα ). (42 articles)

11. Fonctions numériques autres que $\varphi(m)$. (88 articles)
a. Propriétés diverses. (56 articles)
β  Intégrales numériques suivant les diviseurs.(16 articles)
b. Représentations analytiques.
c. Expressions asymptotiques des fonctions numériques. (10 articles)

12. Formes et systèmes de formes linéaires. (26 articles)
a. Généralités ; réduction à la forme canonique ; application aux substitutions linéaires ; conditions d'équivalence.
b. Représentation d'un nombre ou de plusieurs nombres par une ou plusieurs formes linéaires ; analyse indéterminée du premier degré. (26 articles)

13. Formes quadratiques binaires. (47 articles)
a. Condition d'équivalence de deux formes à déterminant négatif ; formes réduites de Gauss.
b. Représentation d'un nombre par une forme de déterminant négatif ; (29 articles)
α  Décomposition en une somme de deux carrés.(19 articles)
c. Application à la décomposition d'un nombre en facteurs premiers.
d. Équivalence de deux formes à déterminant positif ; formes réduites de Gauss.
e. Périodes de Gauss.
f. Équation de Pell et équations analogues. (18 articles)
g. Composition des formes.
h. Formes quadratiques binaires complexes.

14. Nombre des classes de formes quadratiques binaires. (18 articles)
a. Nombre des classes de formes de déterminant négatif (ref. F8e ). (18 articles)
b. Nombre des classes de formes de déterminant positif (ref. F8e ).

15. Formes quadratiques définies.
a. Équivalence de deux formes définies à coefficients réels ;
α  Formes réduites de Dirichlet ;
β  De MM. Korkine et Zolotareff ;
γ  Nombre des classes.
b. Formes quadratiques à indéterminées complexes.
c. Équivalence de deux formes quadratiques définies complexes ;
α  Formes réduites ;
β  Nombre de classes.
d. Applications diverses (non compris la représentation des nombres) ;
α  Réduction d'une substitution.

16. Formes quadratiques indéfinies.
a. Formes réduites ; méthode de M. Hermite pour l'étude de l'équivalence ; substitutions correspondantes.

17. Représentation des nombres par les formes quadratiques. (55 articles)
a. Représentation d'un nombre par une forme quadratique définie (ref. F8d ) ; (45 articles)
α  Indéfinie.
b. Décomposition d'un nombre en une somme de quatre carrés (ref. F8d ). (10 articles)
c. Décomposition en somme de trois carrés (ref. F8d ).
d. Représentation de plusieurs nombres par plusieurs formes quadratiques.
e. Représentation d'une forme à $n$ variables par une forme à un plus grand nombre de variables.

18. Formes de degré quelconque. (9 articles)
a. Équivalence de deux formes ; nombre de classes.
b. Formes décomposables en facteurs linéaires.
c. Représentation d'un nombre ou plusieurs nombres par une ou plusieurs formes. (9 articles)

19. Analyse indéterminée d'ordre supérieur au premier. (179 articles)
a. Analyse indéterminée du second degré (à l'exception de la théorie de la représentation des nombres par les formes quadratiques). (54 articles)
b. Dernier théorème de Fermat : $x^p+y^p=z^p$. (48 articles)
c. Autres équations indéterminées. (77 articles)

20. Systèmes de formes.
a. Formes linéaires et quadratiques.
b. Formes de degré supérieur.

21. Formes au point de vue du genre.
a. Formes quadratiques binaires.
b. Formes quadratiques en général.
c. Formes de degré supérieur.

22. Nombres entiers algébriques. (28 articles)
a. Théorie générale des entiers algébriques
b. Nombres complexes formés avec les racines de l'unité. (17 articles)
c. Théorie générale des unités complexes. (11 articles)
d. Nombres idéaux.

23. Théorie arithmétique des fractions continues. (38 articles)
a. Fractions réelles ; (38 articles)
α  périodiques.(19 articles)
b. Fractions complexes.
c. Approximation simultanée de plusieurs quantités par des fractions de même dénominateur.

24. Nombres transcendants. (29 articles)
a. Expressions diverses et transcendance de $e$. (11 articles)
b. Expressions diverses et transcendance de $\pi$. (18 articles)
c. Autres nombres transcendants. Formation de pareils nombres à l'aide des fractions continues.

25. Divers. (22 articles)
a. Suites de Farey et analogues.
b. Classes de nombres remarquables (nombres triangulaires, polygonaux, figurés, parfaits, etc (ref. D6cε ) (22 articles)